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你需要的是思维,因为繁琐的数学证明计算机就能做。
来源: | 2019/9/29 17:32:11 | 浏览数:0 | 作者:

数学是科学的灵魂,而科学又是技术的源头,技术又是生产力增加、生活条件提升的必要条件。

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比如,请证明平行四边形的对角线互相平分,类似这样的,初中、高中遇到的所有的几何证明题,现在都已经可以利用一套1992年开发成熟的方法,用计算机给出证明了,而且甚至还可以给出证明过程,这个证明过程都是中学生可以读懂的。


平行四边形.jpg


当然,这些证明并不太让数学界惊讶,因为根源上它还是从已知的几条几何公理推导出来的,整个证明过程也没有出现新的思考方法,只是因为计算机计算能力强大,所以证明的速度比人脑快很多。


数学家们重视的是数学能力,而不是计算能力。这一点对很多同学、老师,还有学生家长都很有提示作用。因为中小学的数学教育中,确实花了绝大部分的时间训练计算的速度跟准确率。比如说多项式的加减乘除,或者是很容易搞错的指数、对数的运算。而在数学思考能力上花的时间并不比计算上多。如果以这样的标准再进一步地问,计算机做的证明题里,有没有哪些证明体现了数学能力呢?


数学计算.jpg


既然说到数学能力,那么必须要说到4色问题了。这个问题是一个外行很好懂,内行却研究不出来的问题。


最初是在1852年,被一个年轻的大学毕业生发现了,伦敦大学的格斯里毕业之后,去了一家测绘的单位,他在给地图上色的时候发现了一个规律,好像不论是世界地图还是英国地图,或者是家乡小镇的地图,在上色的时候,总是只需要4种颜色就够用了,就是相邻的区块为了不容易混淆,起码得用不同的颜色上色,但是只需要4种颜色就够用了。



他发现这个规律之后,就和正在上大学的弟弟想试试把这个问题证明了,结果两个人解决不了。弟弟拿着问题去问他的老师,数学家摩尔根,问题的描述这么简单,可是难度竟然非常大,摩尔根几天时间也没有进展,于是又写信把这个问题寄给了著名的数学家哈密顿爵士,结果过了14年,直到哈密顿去世,问题还是没有得到解决。


如果你感兴趣,也可以找一张纸,随意地划分10几个或者几十个区块,然后在每个区块里标上数字,数字只能用到1、2、3、4这四个,而且相邻的区块数字不能一样,你稍微试一试就会发现基本没有难度,1到4这四个数字就足够了。


图片中的四色定理.jpg


自从摩尔根把问题带到了数学界,大家就开始研究起来,最初的进展发生在1880年,有两位数学家分别提交了论文,宣布证明了4色定理。不过10年之后,1890年有人发现证明里有错误,但错得并不离谱,因为他们的论文里已经至少证明出5色定理了,也就是他们已经证明了给一张地图上色用5种颜色是足够的。


这时候数学家们也清楚地知道,3色肯定是不够的,所以给一张地图上色最少用几种颜色,答案不是4就是5,这么听上去好像离答案很近,但是研究得越深,数学家们就发现这个问题越难。


四色定理.jpg


这个问题有意思就在于,它几乎独立于那时候的数学界的所有的其他分支,这个系列的前半部分,我们一直在介绍数学文化跟数学思想,如果你已经训练出一些能力了,可能今天我们刚刚提出4色问题的时候,就已经在不自觉地想把4色问题定位在数学发展史上的某一个刻度上,这确实是重要的思维过程。


我们如果知道问题的刻度,那么参考刻度左边的成果跟刻度右边的成果,就能更好地理解这个问题的范畴跟它的意义。但今天我们从一开始就有意没有介绍它在数学史上的刻度,就是因为,它真的是一个跟谁都没有太大关系的问题,这类问题属于横空出世,单摆浮搁。


它在1890年之后的进展,就是先设定好约束条件,只许用4种颜色,然后想法证明多少个区块以内用4种颜色是够用的,之后很多著名的数学家都参与了证明,比如像克莱因,还有爱因斯坦的老师闵可夫斯基。1939年证明了22个区块以内是可以4色的,1950年证明了35个区块是可以的,1960年证明了39个区块也可以,再之后,推进就非常缓慢了,直到50个区块就没有继续了。而实际上要解决这个问题是要证明有限多个区块都可以做到这一点。


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很多数学家遇到这个问题最初都是低估了难度,比如像闵可夫斯基,当时是在数学课上提起这个问题的,他说4色问题一直没有解决,只是因为试图解决它的都是三流的数学家,他说自己的这节课打下课铃之前就能把它证完,结果不知道耗费了多少个日日夜夜,闵可夫斯基最终还是放弃了。


简单来说,这个问题难就难在需要找出地图里所有的“可约构形”,这是什么意思呢?比如任意地图,只要国家的数量够多,必然存在4种构形,周围有2个邻国的国家,周围有3个邻国的国家,有4个邻国的国家,有5个邻国的国家,这些是最基本的,肯定会出现的,这些就称之为不可避免的可约构形。


证明4色定理时的可约构型


但是整张地图里头还有没有一定会出现的构形呢?

可能有,也可能没有。如果有的话,就要把它找出来。都找全,这个问题就能被证明了。那对包含任意多的区块的地图来说,不可避免的可约构形有多少个呢?


这个在计算机没有出现之前,大家是不知道的,有人猜是1万个以上,有人猜是8000个,但是人工寻找可约构形实在是太缓慢了。1967年数学家们第一次使用计算机来寻找,不过那次因为内存太小,没能完成任务,最终的工作是在1976年做的,在那一年伊利诺伊大学的 IBM360 电脑完成了,它连续运转了50天,作了100多亿次的判断,找出了全部1936种可约构形,证明完毕。


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从此,4色猜想就不用继续叫做猜想了,就可以叫做4色定理了,因为它已经被证明出来了。别看1976年就已经证明了4色猜想,但这个结论在1990年之前一直是备受质疑的,最有利的理由就是:其他数学家怎么能够验证你的证明过程呢?


计算机的证明当然是可以挨条地写出来,但是写出来了,文字量也超过了一个数学家一生可以阅读的文字总量的几千倍,上万倍,这个质疑在2004年被另外一个专门检验4色证明逻辑是否存在错误的程序给解决了。


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但除此之外,还有其他的问题,比如计算机在证明中贡献的,只是把本来可以人来做的工作缩短了时间完成了。而人在解决这个问题过程中产生的创造性、抽象性思维,那些才是最宝贵的。比如,最初这个看似跟谁都八竿子打不着的问题,后来大大促进了拓扑学的进展,也从这个问题中诞生了图论这个数学分支。


如果真的有一个计算程序,可以从头到尾解决这个证明问题,那整个过程就有点像一个黑箱操作,一端输入进去问题,另一端输出结果。如果当初就是一个和谁都没有关系的问题,最终证明出来的也肯定是一个和谁都没有关系的结果。那么拓扑学的进展,图论的出现也就都无从谈起了,这就是另外一种质疑。


黑箱操作.jpg


但是,这样的假设有一点过于理想,计算机程序离黑箱操作,解决数学界的难题,离这个水准差得还太远,而且很多数学家跟计算机科学家都怀疑:理论上计算机是不是压根儿都没有这种能力做这种程度的数学证明呢?


4色定理的证明是一个特例,关键性的证明步骤虽然是计算机跑完的,但是整个长跑的路线是数学家规划的,本质上计算机只是一个让数学家摆脱烦琐的机械式的计算跟推理的一个工具而已。


所以,今天我们要介绍的观点,就是数学的核心在于数学思维,不在于计算过程 。计算是一种不需要创造性的体力活,如果你发现自己的学习过程中,大多数的精力都花在了计算器都可以解决的问题上,那明显就是用错力了。


数学思维timg.jpg


一个命题最重要的意义不在于是否被证明,而在于求证过程中不断发现的新方法和对抽象思考能力的锻炼。太原锦华办学十六年,始终以培养孩子学习兴趣及思维方式为主要教育方式,不渝地为中国的IT教育事业奉献力量,为实现国家信息化建设做出更大贡献。


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